伯恩斯坦多项式

我们在研究贝塞尔曲线的时候,首先遇到的就是伯恩斯坦多项式(Bernstein polynomial),为此,有必要专门开出一篇文章来探讨伯恩斯坦多项式的性质。

从定义出发,伯恩斯坦多项式的第n阶项有如下形式:

$$
b_{i,n}(t) = \binom{n}{i}\cdot t^{i} \cdot (1-t)^{(n-i)}, \quad t\in[0, 1]
$$

其中 $i=0, 1, …, n$, 而

$$
\binom{n}{i} = \frac{n!}{i!(n-i)!}
$$

是二项式系数。伯恩斯坦 n 阶多项式可以形成一组 n 阶指数多项式的基底。一般伯恩斯坦多项式可以表示为:

$$
B_n(t) = \sum_{i=0}^{n}\beta_i \cdot b_{i, n}(t)
$$

其中,$\beta_i$ 叫做伯恩斯坦系数。读者看到这个形式可能一下子就联想到贝塞尔曲线了。是的,这就是贝塞尔曲线的函数形式。不过,贝塞尔曲线我们会在下一篇文章中去详细论述,本篇只探讨伯恩斯坦多项式的特性。

性质

伯恩斯坦多项式满足如下性质:

对称性

$$
b_{i,n}(t) = b_{n-i,n}(1-t)
$$

正性

$$
b_{i,n}(t) \geqslant 0
$$

归一化

$$
\sum_{i=0}^{n}b_{i, n}(t) = 1
$$

极值

当 $i\neq 0, n$ 时,$b_{i,n}(t)$ 有且只有一个极大值点,位于 $t=\frac{i}{n}$,值为

$$
b_{i,n}(\frac{i}{n}) = i^i\cdot n^{-n} \cdot (n-i)^{n-i} \binom{n}{i}
$$

临近项关系

伯恩斯坦多项式的项总是可以表示为两个比他高一阶项的线性组合

$$
b_{i,n-1}(t) = \frac{n-i}{n}b_{i,n}(t) + \frac{i+1}{n}b_{i+1,n}(t)
$$

而其导数可以表示为两个低一阶项的线性组合

$$
b_{i,n}^{‘}(t) = n\cdot[b_{i-1,n-1}(t)-b_{i,n-1}(t)]
$$

当然这里需要考虑到一个约定,即当 $i<0$ 或 $i>n$ 时,

$$
\binom{n}{i} = 0
$$

这是很容易理解的。二阶项系数的含义是在不考虑顺序的情况下,从 $n$ 中挑选出子集大小为 $i$ 的可能性有多少。当 $i<0$ 或 $i>n$ 时,其可能性当然为零。

由此,我们也知道,当 $i<0$ 或 $i>n$ 时,

$$
b_{i,n}(t) = 0
$$

端点

当 $t=0$ 或 $t=1$ 时,其结果满足

$$
\begin{align}
b_{i,n}(0) &= \delta_{i, 0} \newline
b_{i,n}(1) &= \delta_{i, n}
\end{align}
$$

其中

$$
\delta_{i,j} =
\begin{cases}
0, &i \neq j \newline
1, &i = j
\end{cases}
$$

是 Kronecker $\delta$ 函数。

积分

$$
\int_{0}^{1} b_{i,n}(t) dt = \frac{1}{n+1}
$$

多项式前几阶结果

通过求取多项式的前几阶结果,并画出相应的函数图,可以很直观地验证上述伯恩斯坦多项式的几个性质。

零阶

$$
\begin{align}
b_{0,0}(t) &= 1
\end{align}
$$

一阶

$$
\begin{align}
b_{0,1}(t) &= 1-t \newline
b_{1,1}(t) &= t
\end{align}
$$

二阶

$$
\begin{align}
b_{0,2}(t) &= (1-t)^2 \newline
b_{1,2}(t) &= 2(1-t)t \newline
b_{2,2}(t) &= t^2
\end{align}
$$

三阶

$$
\begin{align}
b_{0,3}(t) &= (1-t)^3 \newline
b_{1,3}(t) &= 3(1-t)^2t \newline
b_{2,3}(t) &= 3(1-t)t^2 \newline
b_{3,3}(t) &= t^3
\end{align}
$$

四阶

$$
\begin{align}
b_{0, 4}(t) &= (1-t)^4 \newline
b_{1, 4}(t) &= 4(1-t)^3t \newline
b_{2, 4}(t) &= 6(1-t)^2t^2 \newline
b_{3, 4}(t) &= 4(1-t)t^3 \newline
b_{4, 4}(t) &= t^4
\end{align}
$$

五阶

$$
\begin{align}
b_{0, 5}(t) &= (1-t)^5 \newline
b_{1, 5}(t) &= 5(1-t)^4t \newline
b_{2, 5}(t) &= 10(1-t)^3t^2 \newline
b_{3, 5}(t) &= 10(1-t)^2t^3 \newline
b_{4, 5}(t) &= 5(1-t)t^4 \newline
b_{5, 5}(t) &= t^5
\end{align}
$$

参考

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